关于绝对值不等式的知识

含绝对值的不等式1．绝对值的意义是：xx(x0)x(x0).2．｜x｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－a＜x＜a｝． ｜x｜＞a(a＞0)的解集是｛x｜x＜－a或x＞a｝．【思考导学】1．|ax＋b|＜b(b＞0)转化成－b＜ax＋b＜b的根据是什么？答：含绝对值的不等式|ax＋b|＜b转化－b＜ax＋b＜b的根据是由绝对值的意义确定．2．解含有绝对值符号的不等式的基本思想是什么？答：解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．【典例剖析】［例1］解不等式2＜｜2x－5｜≤7．解法一：原不等式等价于|2x5|2|2x5|773∴2x5|2或2x52x或x72x5|7即221x6∴原不等式的解集为｛x｜－1≤x＜32或72＜x≤6｝解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集(Ⅰ)2x5022x57(Ⅱ)2x50252x7不等式组(Ⅰ)的解集为｛x｜72＜x≤6｝ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜32｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜372或2＜x≤6｝解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7 (Ⅱ)2＜5－2x≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛x｜72＜x≤6｝ 不等式(Ⅱ)的解集是｛x｜－1≤x＜32｝∴原不等式的解集是｛x｜－1≤x＜32或72＜x≤6｝．点评：含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如解法一，再就是利用绝对值的定义如解法二、解法三． ［例2］解关于x的不等式：(1)｜2x＋3｜－1＜a(a∈R)； (2)｜2x＋1｜＞x＋1．解：(1)原不等式可化为｜2x＋3｜＜a＋1 当a＋1＞0，即a＞－1时，由原不等式得－(a＋1)＜2x＋3＜a＋1－a4a2＜x＜22当a＋1≤0,即a≤－1时，原不等式的解集为，综上，当a＞－1时，原不等式的解集是｛x｜－a42＜x＜a22} 当a≤－1时，原不等式的解集是． (2)原不等式可化为下面两个不等式组来解(Ⅰ)2x102x102x1x1或(Ⅱ)(2x1)x1不等式组(Ⅰ)的解为x＞0 不等式组(Ⅱ)的解为x＜－23∴原不等式的解集为｛x｜x＜－23或x＞0｝ 点评：由于无论x取何值，关于x的代数式的绝对值均大于或等于0，即不可能小于0，故｜f(x)｜＜a(a≤0)的解集为．解不等式分情况讨论时，一定要注意是对参数分类还是对变量分类，对参数分类的解集一般不合并，如(1)对变量分类，解集必须合并如(2)． 例3］解不等式|x－|2x＋1||＞1．解：∵由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1(1)由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1∴2x102x12x1x1或0 (2x1)x1