非线性问题近似方法(非线性互补问题的算法)

1.非线性互补问题的算法有哪些

1 无约束非线性最优化问题常用算法：

梯度法（最速下降法）、共轭梯度法、变尺度法和步长加速法.其中，前三个要用到函数的一阶导数或二阶导数，适用于函数表达式导数存在且求导简单的情况，而步长加速法则相反，适用于函数表达示复杂，甚至无解析表达式，或导数不存在情况.

2 约束非线性最优化问题常用算法：

按照是否化成无约束问题可分为 可行方向法、制约函数法（外点法和内点法），其中内点法适用于目标函数在可行域外性质复杂情况，外点法则相反.后者根据罚函数或障碍函数的构造不同，又有不同的变形.

2.非线性系统理论的主要分析方法

对于非线性系统尚未建立起象线性系统的分析那样成熟和系统的一套方法，在应用上比较有效的主要方法有四种。

等效线性化方法 主要用于分析非线性程度较低的非线性系统。其实质是把非线性问题近似地加以线性化，然后去解决已线性化的问题。描述函数法、分段线性化法、小参数法等都属于这种方法。

直接分析方法 建立在直接处理系统的实际的或简化后的非线性微分方程基础上的分析方法，不管非线性程度的高低都可适用。相平面法、李雅普诺夫第二方法（见李雅普诺夫稳定性理论）等都属于这种方法。

双线性系统理论 对于双线性系统这一特殊类型非线性系统建立的分析和综合方法。

流形上的控制理论 这一理论的发展始于70年代初期，它是以微分几何为主要数学工具的一种分析方法。流形上的控制理论为非线性系统的研究提供了一条新的途径，可用以研究非线性系统的某些全局和局部性质。

3.非线性方程组能用什么方法求解,比如牛顿法,还有什么其他方法

非线性方程，就是因变量与自变量之间的关系不是线性的关系，这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、三角函数关系等等。求解此类方程往往很难得到精确解，经常需要求近似解问题。相应的求近似解的方法也逐渐得到大家的重视。

这些方程可分为两类，一种是多项式方程，一种是非多项式方程。如何求解第一类多项式方程，现在已经有了比较成熟的理论和方法。现在比较常用的一种数值方法是迭代法，他能够通过迭代次数的增加，而越来越接近方程的解。至于如何求解第二类非多项式方程，是现在数学领域中的一个重点研究方向。一般来说，求解此类方程是采用随机搜索的办法。

4.如何将非线性系统进行近似线性化

非线性系统的分析远比线性系统为复杂，缺乏能统一处理的有效数学工具，因此非线性控制系统至今尚未能象线性控制系统那样建立起一套完善的理论体系和设计方法。在许多工程应用中，由于难以求解出系统的精确输出过程，通常只限于考虑：①系统是否稳定；②系统是否产生自激振荡及其振幅和频率的测算方法；③如何限制自激振荡的幅值以至消除它，例如一个频率是ω的自激振荡可被另一个频率是ω1的振荡抑制下去，这种异步抑制现象已被用来抑制某些重型设备的伺服系统中由于齿隙引起的自振荡。

在某些工程问题中，非线性特性还常被用来改善控制系统的品质。例如将死区特性环节和微分环节（见控制系统的典型环节）同时加到某个二阶系统的反馈回路中去，就可以使系统的控制既快速又平稳。又如，可以利用继电特性来实现最速控制系统。

5.常用非线性校正方法有哪些

现 代控制系统对传感器的准确度、稳定性和工作条件等方面提出了很高的要求。

然而，从严格意义上来说，目前绝大多数传感器特性都不理想，其输入输出特性大多为 非线性关系。为此，人们通过一些方法来进行非线性补偿和修正。

特别是近年来，随着神经网络的发展，有不少学者提出了基于神经网络进行非线性传感特性校正的 方法。 这些方法一般是用一个多层的前馈神经网络去映射传感器特性曲线的反函数作为校正环节，算法相对简单，实现容易。

但是通过分析神经网络的基本工作原理，笔者认为该方法依然存在一些不足[1、6]:1）在训练过程中神经网络极容易陷入局部最小，而不能得到全局最小；2）神经网络过分依赖训练数据的质量和数量，但大多数情况下样本数据十分有限，由于噪声影响，存在数据不一致情况，对神经网络的训练结果影响较大；3）输入数据往往是高维的，而训练结果仅是输入空间的稀疏分布，所以大量的高维数据必然会大大增加算法的训练时间。 支持向量机SVM[4,5](Support Vector Machine)是基于统计学习理论的一种新的学习方法，最早由Vapnik教授及其合作者于上世纪90年 代中期提出。

由于其优良特性，最近引起了许多研究者的兴趣。 支持向量机主要用于模式识别，目前在该方面成功的范例较多；与模式识别相比，支持向量机用于函 数拟合的成功应用较少。

和神经网络相比，支持向量机是基于统计学习理论的小样本学习方法，采用结构风险最小化原则，具有很好的泛化性能；而神经网络是基于 大样本的学习方法，采用经验风险最小化原则。 将支持向量机函数拟合技术应用于传感器非线性特性校正的研究刚起步，国内尚无先例。

如何在传感器非线性特性校正领域充分发挥支持向量机函数拟合的技术优势，解决神经网络方法中的缺陷是一个值得研究的问题。ؤ 1支持向量机拟合基本理论 1。

1线性函数拟合问题 与支持向量机的研究最初是针对模式识别中的线性可分问题[5]相似，先分析线性样本点的线性函数拟合问题，拟合函数以线性函数的特性出现，可用形式=ωTx+b表示。假设所有训练数据{xi,yi}能在精度ε下无误差地用线性函数拟合，即 统计学理论指出，在这一优化目标是最小化ωTω/2时可取得较好的推广能力。

考虑到实际应用中允许拟合误差的情况，则支持向量机优化目标可以表示为[3] تؤ 式中c为平衡因子，为惩罚因子，惩罚函数L（·）通常采用如下的离散定义形式（如图1所示） n，进一步采用对偶优化方法，最大化目标函数 小部分不为0，它们对应在不灵敏区边界上或外 式中，偏移量b可由支持向量（xi,yi）及精度ε求得，SVs表示支持向量集。 1。

2非线性函数拟合问题 对于非线性函数拟合基本思想是：可以通过非线性变换x→φ（x）将原拟合问题映射到某个高维特征空间中，然后在该空间中进行线性拟合，即 在支持向量机中，引入核函数（Kernel function）来简化非线性逼近。 在高维特征空间中，线性问题中的内积运算可用核函数来代替。

核函数满足k(x,x′)=〈φ（x），φ（x′）〉，这样目标函数式（4）就变成了式（6）所示的形式：ؤ 2传感器非线性误差校正原理[6] 大多数传感系统都可用y=f(x),x∈（ζα，ζb）表示，其中y表示传感系统的输出，x表示传感系统的输入，ζα，ζb为输入信号的范围。 y信号可经过电子设备进行测量，目的是根据测得的y信号求得未知的变量x，即表示为x=y-1(y)。

在实际应用过程中，绝大多数传感器传递函数为非线性函数。 为了消除或补偿传感系统的非线性特性，可使其输出y通过一个补偿环节。

该模型的特性函数为u=g(y)，其中u为非线性补偿后的输出，它与输入信号x呈线性关系。很明显函数g（*)也是一个非线性函数，并使得补偿后的传感器具有理想特性。

在实际应用中，非线性补偿函数g（*)的表达式难以准确求出，但可以通过建模来实现，补偿模型的建立就成了校正传感器非线性特性的关键。 笔者根据支持向量机的函数拟合能力，提出了基于支持向量机的传感器非线性特性校正方法。

ؤ 3仿真与应用研究 该文使用支持向量机对两个非线性传感系统的非线性误差进行校正，取得了较满意的效果。 3。

1一维传感器非线性校正 用实验法得出一组训练样本（见表1），在表1中x表示传感系统的输入量，其值由精度较高的设备产生，在这里可作为标准量，y值为传感系统的输出量。 设计支持向量机对该传感系统进行非线性校正，传感器输出信号y经过该SVM的处理相当于进行了一个逆传感模型，支持向量机的输出u作为非线性补偿后的输出，它与输入信号x的误差应更小。

由此可得到一组训练样本（yi,xi），其中yi表示支持向量机的输入，xi为拟合的目标。 设计支持向量机时，精度ε=0。

02，核函数选用多项式k(xi,x)=(xi·x+1)6，传感器非线性校正曲线如图3所示，由此可见用该方法提高了传感器的精度。 3。

2二维图像传感器非线性校正 有二维图像传感器，其校正前的输出如图4a所示，而实际像点应在栅格线的交叉点。从图4a不难看出，该传感器存在着严重的非线性，且这种非线性不能以解析式表达。

如式（1）所示，文中介绍的支持向量机每个学习样本的输入数据xi是一个多维向量，样本输出yi是一个数而非向量。 待校正的。