根据数字不同,简便的判别法也不同。
①
对13,有三位截取法。三位一段,隔段加减
例如:70612373
70-612+373=-169 能被13整除,原数整除。
②
对19,有截四位尾数3倍法,可反复使用。
例如:111651847
11165 - 1847 * 3 = 5624 能被19整除,原数整除。
对19,还存在截三位尾数11倍法。截五位尾数6倍法。
③
对109,有截四位,前3后4法。可反复使用。
例如对4979001 4407
4979001*3-4407*4 = 1491 9375
1491*3-9375*4 = -3 3027
3*3-3027*4=-12099能被109整除,原数整除。
以上判断法对数字超大的有一些用处,把除法转变成加减,缩小计算的规模
常见整除数的特征
能被2整除的数:个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除),那么这个数能被2整除
能被3整除的数:各个数位上的数字和能被3整除,那么这个数能被3整除
能被4整除的数:个位和十位所组成的两位数能被4整除,那么这个数能被4整除
能被5整除的数: 个位上的数都能被5整除(即个位为0或5)那么这个数能被5整除
能被6整除的数: 个数位上的数字和能被3整除的偶数,如果一个数既能被2整除又能被3整除,那么这个数能被6整除
能被7整除的数: 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3*2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9*2=595 , 59-5*2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
能被8整除的数:百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除,那么这个数能被8整除
能被9整除的数:各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除
能被10整除的数:如果一个数既能被2整除又能被5整除,那么这个数能被10整除(即个位数为零)
能被11整除的数:奇数位(从左往右数)上的数字和与偶数位上的数字和之差(大数减小 数)能被11整除,则该数就能被11整除。 11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1!
能被12整除的数:若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除
能被13整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
能被17整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
另一种方法:若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除
能被19整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。
另一种方法:若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除
能被23整除的数:若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除
能被25整除的数:十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数:百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
(一) 奇偶运算基本法则
【基础】奇数±奇数=偶数; 偶数±偶数=偶数;
偶数±奇数=奇数; 奇数±偶数=奇数。
【推论】
1.任意两个数的和如果是奇数,那么差也是奇数;如果和是偶数,那么差也是偶数。
2.任意两个数的和或差是奇数,则两数奇偶相反;和或差是偶数,则两数奇偶相同。
(二)整除判定基本法则
1.能被2、4、8、5、25、125整除的数的数字特性
能被2(或5)整除的数,末一位数字能被2(或5)整除;
能被4(或 25)整除的数,末两位数字能被4(或 25)整除;
能被8(或125)整除的数,末三位数字能被8(或125)整除;
一个数被2(或5)除得的余数,就是其末一位数字被2(或5)除得的余数;
一个数被4(或 25)除得的余数,就是其末两位数字被4(或 25)除得的余数;
一个数被8(或125)除得的余数,就是其末三位数字被8(或125)除得的余数。
2.能被3、9整除的数的数字特性
能被3(或9)整除的数,各位数字和能被3(或9)整除。
一个数被3(或9)除得的余数,就是其各位相加后被3(或9)除得的余数。
3.能被11整除的数的数字特性
能被11整除的数,奇数位的和与偶数位的和之差,能被11整除。
(三)倍数关系核心判定特征
如果a∶b=m∶n(m,n互质),则a是m的倍数;b是n的倍数。
如果x= y(m,n互质),则x是m的倍数;y是n的倍数。
如果a∶b=m∶n(m,n互质),则a±b应该是m±n的倍数。
常见整除数的特征 能被2整除的数:个位上的数能被2整除(偶数都能被2整除),那么这个数能被2整除 能被3整除的数:各个数位上的数字和能被3整除,那么这个数能被3整除 能被4整除的数:个位和十位所组成的两位数能被4整除,那么这个数能被4整除 能被5整除的数: 个位上的数都能被5整除(即个位为0或5)那么这个数能被5整除 能被6整除的数: 个数位上的数字和能被3整除的偶数,如果一个数既能被2整除又能被3整除,那么这个数能被6整除 能被7整除的数: 若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。例如,判断133是否7的倍数的过程如下:13-3*2=7,所以133是7的倍数;又例如判断6139是否7的倍数的过程如下:613-9*2=595 , 59-5*2=49,所以6139是7的倍数,余类推。
能被8整除的数:百位、个位和十位所组成的三位数能被8整除,那么这个数能被8整除 能被9整除的数:各个数位上的数字和能被9整除,那么这个数能被9整除 能被10整除的数:如果一个数既能被2整除又能被5整除,那么这个数能被10整除(即个位数为零) 能被11整除的数:奇数位(从左往右数)上的数字和与偶数位上的数字和之差(大数减小 数)能被11整除,则该数就能被11整除。 11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理!过程唯一不同的是:倍数不是2而是1! 能被12整除的数:若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除 能被13整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 能被17整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 另一种方法:若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除,则这个数能被17整除 能被19整除的数:若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的2倍,如果差是19的倍数,则原数能被19整除。
如果差太大或心算不易看出是否19的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止。 另一种方法:若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除,则这个数能被19整除 能被23整除的数:若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除,则这个数能被23整除 能被25整除的数:十位和个位所组成的两位数能被25整除。
能被125整除的数:百位、十位和个位所组成的三位数能被125整除。
能被7整除的数的特征 一个数割去末位数字,再从留下来的数中减去所割去数字的2倍,这样,一次次减下去,如果最后的结果是7的倍数(包括0),那么,原来的这个数就一定能被7整除. 例如:判断6692能不能被7整除. 竖式为: 这种方法叫“割减法”.此法还可简化为:从一个数减去7的10倍、20倍、30倍、……到余下一个100以内的数为止,如果余数能被7整除,那么,这个数就能被7整除.能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫“奇偶位差法”. 除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍、20倍、30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除. 又如:判断583能不能被11整除. 用583减去11的50倍(583-11*50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除。
能被13整除的数的特征 一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差,如果能被13整除,那么,这个多位数就一定能被13整除. 例如:判断383357能不能被13整除. 这个数的未三位数字是357,末三位以前的数字所组成的数是383,这两个数的差是:383-357=26,26能被13整除,因此,383357也一定能被13整除. 这个方法也同样适用于判断一个数能不能被7或11整除.如:283679的末三位数字是679,末三位以前数字所组成的数是283,679-283=396,396能被11整除,因此,283679就一定能被11整除.仍以原数为例,末三位数字与前两数字的差是396,396不能被7整除,因此,283697就一定不能被7整除.。
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