1、三角形的分类
三角形按边的关系分类如下:
三角形包括不等边三角形和等腰三角形
等腰三角形 包括底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形
三角形按角的关系分类如下:
三角形包括 直角三角形(有一个角为直角的三角形)和斜三角形
斜三角形 包括 锐角三角形(三个角都是锐角的三角形)和 钝角三角形(有一个角为钝 角的三角形)
把边和角联系在一起,我们又有一种特殊的三角形:等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。
2、三角形的三边关系定理及推论
(1)三角形三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边。
推论:三角形的两边之差小于第三边。
3、三角形的内角和定理及推论
三角形的内角和定理:三角形三个内角和等于180°。
推论:
①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
注:在同一个三角形中:等角对等边;等边对等角;大角对大边;大边对大角。
4、三角形的面积
三角形的面积=*底*高
全等三角形
1、全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、三角形全等的判定
三角形全等的判定定理:
(1)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)
(2)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)
(3)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。
直角三角形全等的判定:
对于特殊的直角三角形,判定它们全等时,还有HL定理(斜边、直角边定理):有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)
3、全等变换
只改变图形的位置,不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
全等变换包括一下三种:
(1)平移变换:把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
(2)对称变换:将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。
(3)旋转变换:将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置,这种变换叫做旋转变换。
等腰三角形
1、等腰三角形的性质
(1)等腰三角形的性质定理及推论:
定理:等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角)
推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2:等边三角形的各个角都相等,并且每个角都等于60°。
2、三角形中的中位线
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
(1)三角形共有三条中位线,并且它们又重新构成一个新的三角形。
(2)要会区别三角形中线与中位线。
三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半。
三角形中位线定理的作用:
位置关系:可以证明两条直线平行。
数量关系:可以证明线段的倍分关系。
常用结论:任一个三角形都有三条中位线,由此有:
结论1:三条中位线组成一个三角形,其周长为原三角形周长的一半。
结论2:三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。
结论3:三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。
结论4:三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。
结论5:三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
三角形知识的实际运用
保明华
三角形知识主要包括三角形内的有关线段,三角形的三边关系,三角形的内角和及多边形的内角和。本文以三角形的边、角关系为例,谈谈其在实际中的应用。
三角形的三边关系是:三角形的任意两边之和大于第三边;三角形的三角关系是:三角形的内角和是180°,任一外角等于和它不相邻的两个内角之和。
例1(山西省中考题)如图1,平面上有A,B,C,D四个村庄,为了解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池,(不考虑其他因素)请你画图确定蓄水池H点的位置,使它与四个村庄的距离之和最小。
解析 蓄水池H,应建在四边形ABCD两对角线的交点处才符合要求。
不妨任取一点P,由“三角形的两边之和大于第三边”可推出:PA+PC≥AC PB+PD≥BD
所以PA+PB+PC+PD≥AC+BD
即PA+PB+PC+PD≥HA+HB+HC+HD
所以两条对角线的交点H到四个村庄的距离之和最小。
例2(宁夏回族自治区中考题)一个零件的形状如图2所示,按规定∠A应等于 ,∠B和∠C应分别是32°和21°。检验工人量得∠BDC=148°,就断定这个零件不合格,运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由。
解析 要说明零件不符合规格,只要说明按规定的标准,∠CDB≠148°即可。延长BD交AC于点E。∠BDC=∠1+∠C(你知道为什么吗?)∠1=∠A+∠B。即∠BDC=∠A+∠B+∠C=90°+32°+21°=143°≠148°。
所以这个零件不合格。
例3 某工程队准备开挖一条隧道,从缩短工期考虑,自山的两侧同时开挖。为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上,测量人员在如图3的同一高度定出了两个基准点P(可同时看到点A,M,N)和Q,然后在左边定出开挖的方向线AM,为了准确定出右边开挖的方向线BN,测得∠A=25°,∠APQ=120°,如果点A,M,B在同一直线上,那么∠PBN应等于多少度才能确定N点的位置使与点A,M,B在同一条直线上?
解析 因为点A,M,B在同一直线上,若N点也在这条直线上时,则PA,PB和AMNB构成了三角形的三边,∠NBP是该三角形的一个内角,其度数为180°-∠A-∠P=180°-25°-120°=35°。
三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。
它的定义是:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件,如果三条线段在同一条直线上,我们认为三角形就不存在。
另外三条线段必须首尾顺次相接,这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边,三个角,三个顶点。
三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有:三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上,通过作图加以熟练掌握。
并且对这三条线段必须明确三点: (1)三角形的角平分线、中线、高线均是线段,不是直线,也不是射线。 (2)三角形的角平分线、中线、高线都有三条,角平分线、中线,都在三角形内部。
而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时,三条高都是在三角形内部,钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上,这两条高在三角形的外部,直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 (3)在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。
在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心,三条中线的交点叫做三角形的重心,三条高的交点叫做三角形的垂心。
三角形的按边分类 三角形的三条边,有的各不相等,有的有两条边相等,有的三条边都相等。所以三角形按边的相等关系分类如下: 等边三角形是等腰三角形的一种特例。
判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c,根据公理“连接两点的所有线中,线段最短”。可知: ③a+b>c,①a+c>b,②b+c>a 定理:三角形任意两边的和大于第三边。
由②、③得 b―a―c 故|a―b|-a.也就是a+c>b且a+b>c,再加上b+c>a,便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来,只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件,则一定有|b-c|a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。
同时如果已知线段a最小,只要满足|b-c。
什么是三角形? 由三条边首尾相接组成的内角和为180°的封闭图形叫做三角形 例题:已知有一△ABC,求证∠ABC+∠BAC+∠BCA=180° 证明:做BC的延长线至点D,过点C作AB的平行线至点E ∵AB‖CE(已知) ∴∠ABC=∠ECD(两直线平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(两直线平行,内错角相等) ∵∠BCD=180° ∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°(等式的性质) ∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°(等量代换) 三角形是几何图案的基本图形,几边形都是由三角形组成的。
两直线平行,同旁内角互补。 三角形的内角和 三角形的内角和为180度;三角形的一个外角等于另外两个内角的和;三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。
证明:根据三角形的外角和等于内角可以证明,详细参见《优因培:走进三角形》 (1)如何证明三角形的内角和 方法1:将三角形的三个角撕下来拼在一起,求出内角和为180° 方法2:在三角形任意一个顶点处做辅助线,可求出内角和为180°编辑本段三角形分类 (1)按角度分 a.锐角三角形:三个角都小于90度 。并不是有一个锐角的三角形,而是三个角都为锐角,比如等边三角形也是锐角三角形。
b.直角三角形(简称Rt 三角形): ⑴直角三角形两个锐角互余; ⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半; ⑶在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.; ⑷在直角三角形中,如果有一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于30°(和⑶相反); c.钝角三角形:有一个角大于90度(锐角三角形,钝角三角形统称斜三角形)。 d.证明全等时可用HL方法 (2)按角分 a.锐角三角形:三个角都小于90度。
b.直角三角形:有一个角等于90度。 c.钝角三角形:有一个角大于90度。
(锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形) (3)按边分 不等腰三角形;等腰三角形(含等边三角形)。编辑本段解直角三角形: 勾股定理,只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”) a^2+b^2=c^2, 其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。
勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如:3,4,5。
他们分别是3,4和5的倍数。 常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;等等.编辑本段解斜三角形 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有 (1)正弦定理 a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r) (2)余弦定理。
a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC (3)余弦定理变形公式 cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab编辑本段三角形的性质 1.三角形的任何两边的和一定大于第三边 ,由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。 2.三角形内角和等于180度 3.等腰三角形的顶角平分线,底边的中线,底边的高重合,即三线合一。
4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
5.三角形的外角(三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角)等于与其不相邻的两个内角之和。 6.一个三角形最少有2个锐角。
7.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段。 8.等腰三角形中,等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
9.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系(a^2+b^2=c^2。) 那么这个三角形就一定是直角三角形。
10.三角形的外角和是360°。 11.等底等高的三角形面积相等。
12.底相等的三角形的面积之比等于其高之比,高相等的三角形的面积之比等于其底之比。 13.三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
14.在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。 15.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
16.全等三角形对应边相等,对应角相等。 17.三角形的中心在三条中线的交点上。
18在三角形中至少有一个角大于等于60度,也至少有一个角小于等于60度。编辑本段三角形的五心、四圆、三点、一线 三角形的五心四圆三点一线这些是三角形的全部特殊点,以及基于这些特殊点的相关几何图形。
“五心”指重心(barycenter)、垂心、内心(incenter)、外心(circumcenter)和旁心;“四圆”为内切圆、外接圆、旁切圆和欧拉圆;“三点”是勒莫恩点、奈格尔点和欧拉点;“一线”即欧拉线。 以下记三角形的三个顶点为A、B、C,相应的对边边长为a、b、c,系数K(a) = -a^2+b^2+c^2,K(b)、K(c)类推。
三线坐标各分量直接乘以相应边长即可转换为面积坐标,以某点的面积坐标结合三顶点坐标计算该点平面直角坐标的方法:记某点面积坐标为(μa, μb, μc),三分量之和为μ,则有Px = (μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc) / μ,Py类推。 五心 名称 定义 三线坐标 (内心坐标) 面积坐标 (重心坐标) 重心 三条中线(顶点到对边中点连线)的交点 1/a : 1/b : 1/c 1 : 1 : 1 垂心 三条高(顶点到对边的垂线)的交点 sec A : sec B : sec C 1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或 tan(A) : tan(B) : tan(C) 内心 三条内角平分线的交点 1 : 1 : 1 a : b : c 外。
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