高中数学数列例题(高一数列 函数复习重点 常用技巧和一些经典例题)

1.高一数列、函数复习重点、常用技巧和一些经典例题

数列在整个高中数学中处于知识和方法的汇合点，在这个单元中显性知识包括三个概念、两种公式和一种关系（an和Sn的关系），隐性方面包括五种基本方法（观察归纳、类比联想、倒序相加、错位相减、裂项求和）和五种重要的数学思想（函数思想、方程思想、分类讨论的思想、转化的思想和数形结合的思想）.纵观教材，概念和公式是核心，思维是支柱，运算是主体，应用是归宿，等差、等比数列的概念和性质及公式的应用成为复习的重点. 数列这个单元的复习应注意三个方面：①重视函数与数列的联系及方程思想在数列中的应用；②重视等差数列、等比数列的基础以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时应重视等差、等比数列性质的灵活运用；③设计一些新颖题目，尤其是探索性问题，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神.由于数列综合题涉及的问题背景材料新颖，解法灵活多样，建议在复习这部分内容时，启发学生多角度思考问题，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质. 高考大纲对数列要求 近几年高考数学考试大纲没有变化，特别是 04、05、06要求都是一样的，对于《数列》一章的考试内容及考试要求为：（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项； （2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题； （3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题.”参考资料：?fr=qrl3。

2.求一些高一数列的经典例题

数列·例题解析 【例1】 求出下列各数列的一个通项公式解 （1）所给出数列前5项的分子组成奇数列，其通项公式为2n-1，而前5项的分母所组成的数列的通项公式为2*2n，所以，已知数列的（2）从所给数列的前四项可知，每一项的分子组成偶数列，其通项公式为2n，而分母组成的数列3,15,35,63，…可以变形为1*3,3*5,5*7,7*9，…即每一项可以看成序号n的（2n-1）与2n+1的积，也即（2n-1）(2n+1)，因此，所给数列的通项公式为：（3）从所给数列的前5项可知，每一项的分子都是1，而分母所组成的数列3,8,15,24,35，…可变形为1*3,2*4,3*5,4*6,5*7，…，即每一项可以看成序号n与n+2的积，也即n(n+2).各项的符号，奇数项为负，偶数项为正.因此，所给数列的通项公式为：1,4,9,16,25，…是序号n的平方即n2，分母均为2.因此所【例2】 求出下列各数列的一个通项公式.（1）2,0,2,0,2，…（3）7,77,777,7777,77777，…（4）0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…解 （1）所给数列可改写为1+1,-1+1,1+1,-1+1，…可以看作数列1,-1,1,-1，…的各项都加1，因此所给数的通项公式an=(-1)n+1+1.所给数列亦可看作2,0,2,0…周期性变化，因此所给数列的数列n，分子组成的数列为1,0,1,0,1,0，…可以看作是2,(4)所给数列0.2,0.22,0.222,0.2222,0.22222，…可以改写说明1.用归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律.对于项的结构比较复杂的数列，可将其分成几个部分分别考虑，然后将它们按运算规律结合起来.2.对于常见的一些数列的通项公式（如：自然数列，an=n；自然数的平方数列，an=n2；奇数数列，an=2n-1；偶数数列，an=2n；纳出数列的通项公式.3.要掌握对数列各项的同加、同减、同乘以某一个不等于零的数的变形方法，将其转化为常见的一些数列.几项.【例4】 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式.（1）Sn=2n2-3n (2)Sn=n2+1(3)Sn=2n+3 (4)Sn=(-1)n+1·n解 （1）当n=1时，a1=S1=-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5，由于a1也适合此等式，因此an=4n-5.(2)当n=1时，a1=S1=1+1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1，由于a1不适合于此等式，（3）当n=1时，a1=S1=2+3=5；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1，由于a1不适合于此等式，（4）当n=1时，a1=S1=(-1)2·1=1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·（n-1）=(-1)n+1(2n-1)，由于a1也适可于此等式，因此an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*.说明 已知Sn求an时，要先分n=1和n≥2两种情况分别进行计算，然后验证能否统一.（1）写出数列的前5项；（2）求an.(2)由第（1）小题中前5项不难求出.【例6】 数列{an}中，a1=1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an=n2.(1)求a3+a5；解 由已知：a1·a2·a3·…·an=n2得说明 （1）“知和求差”、“知积求商”是数列中常用的基本方法.（2）运用方程思想求n，若n∈N*，则n是此数列中的项，反之，则不是此数列中的项.【例7】 已知数an=(a2-1)(n3-2n)(a=≠±1)是递增数列，试确定a的取值范围.解法一 ∵数列{an}是递增数列，∴an+1>anan+1-an=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)]-(a2-1)(n3-2n)=(a2-1)[(n+1)3-2(n+1)-n3+2n]=(a2-1)(3n2+3n-1)∵（a2-1）(3n2+3n-1)>0又∵n∈N*，∴3n2+3n-1=3n(n+1)-1>0∴a2-1>0，解得a1.解法二 ∵{an}是递增数列，∴a10∴a1说明 本题从函数的观点出发，利用递增数列这一已知条件，将求取值范围的问题转化为解不等式的问题。

3.高中数学必修4里关于数列各种例题的做法

一、等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。

等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从（1）式可以看出，an是n的一次数函（d≠0）或常数函数（d=0）,(n,an)排在一条直线上，由（2）式知，Sn是n的二次函数（d≠0）或一次函数（d=0,a1≠0），且常数项为0。 在等差数列中，等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar，所以Ar为Am,An的等差中项。

且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2，…，n} 若m,n,p,q∈N*，且m+n=p+q，则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。

和=（首项+末项）*项数÷2 项数=（末项-首项）÷公差+1 首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=（末项-首项）/公差+1例题：已知{an}是等差数列，a2=8,S10=185，从数列中依次取出偶数项组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的通项公式解：（Ⅰ）设{an}首项为a1，公差为d，则 a1+d=8 10(2a1+9d)/2=185，解得 a1=5 d=3 ∴an=5+3(n-1)，即an=3n+2 （Ⅱ）设b1=a2,b2=a4,b3=a8， 则bn=a2^n = 3*2^n+2二 等比数列如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。

（1）等比数列的通项公式是：An=A1*q^(n-1)(2)前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 且任意两项am,an的关系为an=am·qn-m(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出： a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2，…，n} (4)若m,n,p,q∈N*，则有：ap·aq=am·an，等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项。记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。

在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质： ①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am·an=ap*aq； ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”. 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意：上述公式中A^n表示A的n次方。

例题：前n项和为s=3^n+a 当a为多少时 an为等比数列解： 当n>1时， Sn=3^n+a Sn-1=3^(n-1)+a 故an=Sn-Sn-1=3^n-3^(n-1)=2*3^(n-1) 所以an应该是以2为首项，3为公比的等比数列，但这是n>1的情况，必须保证n=1也符合上面的通项公式. 所以a1=2*3^0=2……（1） 又S1=a1=3^1+a……（2） 根据（1）(2)式得 a=-1。

4.帮我发些有关高中数列的例题

例1.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.

(1)设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；

(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。

知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点.

技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，（2）问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧.

解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为800*(1-)万元，…第n年投入为800*(1-)n-1万元，所以，n年内的总投入为

an=800+800*(1-)+…+800*(1-)n-1=800*(1-)k-1

=4000*[1-()n]

第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400*(1+)，…，第n年旅游业收入400*(1+)n-1万元.所以，n年内的旅游业总收入为

bn=400+400*(1+)+…+400*(1+)k-1=400*()k-1.

=1600*[()n-1]

(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bn-an>0，即：

1600*[()n-1]-4000*[1-()n]>0，令x=()n，代入上式得：5x2-7x+2>0.解此不等式，得x1（舍去）.即（）n

∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入.

5.数学数列的基本题型

数 列 摘要：数列问题是一个很有趣的问题，生活中的很多事件，都和数列紧紧的联系在一起，本课题重点研究了等差数列，等差数列的判定，等差数列的性质，等差数列的证明，以及数学证明中常用的方法数学归纳法等。

关键词：等差 等差数列 相连项 前n项和 在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列。例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载著相关的问题。

在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题。其中有 一个问题大意是： 10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目 。

现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？数列是从生活中抽像出来的，日常生活中遇到的许多实际问题，如贷款、利率、折旧、人口增长、放射物的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画，然而在数学这门学科中数列又是如何定义的呢？数列：按一定次序排列的一列数表示方法：1 列举法 ：如数列 ， ， 2解析法 ：通项公式、递推公式求数列通项的方法：观察归纳法、待定系数法、公式法数列的分类：1 按项数分为有穷数列和无穷数列 2 按范围分为有界数列和无界数列 3 按单调性分为递增数列、递减数列和常数列（摆动数列）我们在日常生活中经常会碰见一些关于数列的问题 1.四年级同学小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个 他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5,15,25,35，… （问：多少天后他的单词量达到3000?） 2.小李是石河子大学化学系的一名学生，他的英语成绩很棒，他在大二时就过了外语四级，她目前的单词量多达4500 但后来迷上了网络游戏，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉30个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：4500,4470,4440,4410，… （问：多少天后她那4500个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5,15,25,35，… 和 ② 4500,4470,4440,4410，… 大家仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等--应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字--等差数列） 1. 等差数列的定义：如果一个数列，从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数，我们把这样的数列叫做等差数列 2. 等差数列的通项公式： 【或 】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 的首项是 ，公差是d，则据其定义可得： 即： 即： 即： …… 由此归纳等差数列的通项公式可得： 等差中项：如过三个数 成等差数列那么中间一项 称为 的等差中项 ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项 和公差d，便可求得其通项 下面我们来具体研究等差数列的一些问题 一、等差数列的判定方法 1. 若数列 从第二项起每一项与前一项的差都为同一个常数d，即： - =d（常数） 则 是等差数列，其公差为d 2.若数列从第二项起，每一项的两倍都等于前一项与后一项的和即： 2 = + 则是等差数列（ 是 与 的等差中项） 3. 若数列 的通项 是项数n的一次多项式或者是常数，即： = （p,q为常数）， 则 是等差数列，其首项是 ，公差是 4. 若数列 的前n项和 是项数n的二次项系数为零的二次多项式或一次多项式，即： （k,h为常数），则 是等差数列，其首项是 ，公差是 5. 若数列 是公差为d的等差数列，k是一个常数，则数列 是公差为kd的等差数列 6.若数列 是公差为d的等差数列，r是一个常数，则数列 也是公差为d的等差数列例1. 判断下列数列 是否为等差数列？如果是写出其公差（1） 的第n项为： （2） 的第n项为： （3） 的第n项和为： （4） 的第n项和为： 解：（1）因为 =5 =5 = 所以 是等差数列，其公差为 （2）因为 = 所以 是项数n的一次多项式，从而 是等差数列，其公差为4。(3)因为 = 所以 是项数n的二次多项式，二次多项式系数是3，常数项为零，因此 是等差数列，其公差d=6 (4) 所以 是项数n的二次多项式，常数项为1，因此 不是等差数列 二 、等差数列的基本公式及一些简单求法基本公式： （1） = 或者 = = （2） (3) ，特别的 或者 ，特别的 （一） 简单公式求法 利用等差数列的基本公式，解一些关于等差数列的题目，俗话说的好知三求二。

例1. 在等差数列 中，已知 ， ，求 ， ， 解法一：∵ ， ，则 ∴ 解法二：∵ ∴ 小结：第二通项公式 例2.将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 中，设数列的第s项和第t项分别为 和 ，计算 的值，你能发现什么结论？并证明你的结论 解：通过计算发现 的值恒等于公差证明：设等差数列{ }的首项为 ，末项为 ，公差为d， ⑴-⑵得 小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率（2） 相连项求法如过三个数 成等差数列那么中间一项 称为 的等差中项。若三个数成等差数列时，我们通常设等差中项为a，公差为d，于是这三个数为： ，这样的话它们的和就是一个差与公d无关的数，（只与等差中项a有关）这样通常可以简化运算，同理若四个连续的数成等差数列，我门通。

6.高中数学的数列基础

只有是等差数列的话。

a(n+1)-an才会等于一个恒定的值。

不过不是定值，有的也能求，但不是等比也不是等差。

比如a(n+1)-an=-(n+2)

a(n+1)+(n+2)=an

a(n+1)+2(n+1)=an+n

这个就是个an+n的等比数列。

an-an-1=a1是想问什么？

a1是个恒定的值，那么这个就是等差数列了。

还有疑问追问我把。希望对您有所帮助

7.高三数列专题总结

数列是高中数学的重要内容，它是学习高等数学的基础，是高考的热点问题。在高考中灵活运用通项公式、前n项和公式以及两种特殊数列的性质将是考查的重点。在数列的考查中主要体现了函数与方程、等价转化、分类讨论、归纳等数学思想，以及待定系数法、换元法、反证法、数学归纳法等基本方法，应引起足够的重视。解答数列客观题有三个境界：①基本元法：已知-基本元-所求；②用性质解题；③用特殊与一般的思想。

解答题有五类：①基本运算题；②与函数、方程、不等式综合题；③探索性问题（包括数学归纳法）；④推理证明题；⑤关于数列实际知识的应用题。

复习策略

1、明确应用本章知识要解决的主要问题

(1)对数列概念理解的题目；

(2)等差数列和等比数列中的五个量 ，“知三求二”的问题；

(3)数列知识在实际方面的应用。

2、解决上述问题时，一是用函数观点来分析、解决有关数列的问题；二是要运用方程的思想解决等差数列和等比数列中的“知三求二”的问题；三是能自觉运用等差、等比数列的特性来化简；四是掌握必要的技巧（如化归、错位相减、裂项求和、递推等）；五是熟练掌握 与 的关系式的用法。

8.求高一的各种数列的题型

求数列通项公式的常规思想方法列举（配典型例题）数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。

而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。

一. 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9,99,999,9999，…（2） (3) (4) 解：（1）变形为：101-1,102―1,103―1,104―1，…… ∴通项公式为： （2） (3) (4) .观察各项的特点，关键是找出各项与项数n的关系。 二、定义法例2： 已知数列{an}是公差为d的等差数列，数列{bn}是公比为q的（q∈R且q≠1）的等比数列，若函数f (x) = (x-1)2，且a1 = f (d-1),a3 = f (d+1),b1 = f (q+1),b3 = f (q-1),(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：（1）∵a 1=f (d-1) = (d-2)2,a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3-a1=d2-(d-2)2=2d，∴d=2，∴an=a1+(n-1)d = 2(n-1)；又b1= f (q+1)= q2,b3 =f (q-1)=(q-2)2，∴ =q2，由q∈R，且q≠1，得q=-2，∴bn=b•qn-1=4•（-2）n-1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。

三、叠加法例3：已知数列6,9,14,21,30，…求此数列的一个通项。解 易知 ∵ ……各式相加得 ∴ 一般地，对于型如 类的通项公式，只要 能进行求和，则宜采用此方法求解。

四、叠乘法例4：在数列{ }中， =1, (n+1)• =n• ，求 的表达式。解：由（n+1）• =n• 得 ， = • • … = 所以 一般地，对于型如 = （n）• 类的通项公式，当 的值可以求得时，宜采用此方法。

五、公式法若已知数列的前 项和 与 的关系，求数列 的通项 可用公式 求解。例5：已知下列两数列 的前n项和sn的公式，求 的通项公式。

（1） 。 (2) 解： （1） = = =3 此时， 。

∴ =3 为所求数列的通项公式。（2） ，当 时 由于 不适合于此等式 。

∴ 注意要先分n=1和 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。 例6. 设数列 的首项为a1=1，前n项和Sn满足关系 求证：数列 是等比数列。

解析：因为 所以 所以，数列 是等比数列。六、阶差法例7.已知数列 的前 项和 与 的关系是 ，其中b是与n无关的常数，且 。

求出用n和b表示的an的关系式。解析：首先由公式： 得：利用阶差法要注意：递推公式中某一项的下标与其系数的指数的关系，即其和为 。

七、待定系数法例8：设数列 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2,c2=4,c3=7,c4=12，求通项公式cn解：设 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列 为等差数列：则 ， （b、c为常数），若数列 为等比数列，则 ， 。八、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。

例9.在数列 中， ， ， ，求 。解析：在 两边减去 ，得 ∴ 是以 为首项，以 为公比的等比数列，∴ ，由累加法得 = = … = = = 例10.(2003年全国高考题)设 为常数，且 （ ），证明：对任意n≥1， 证明：设， 用 代入可得 ∴ 是公比为 ，首项为 的等比数列，∴ （ ），即： 型如an+1=pan+f(n) (p为常数且p≠0, p≠1)可用转化为等比数列等.（1）f(n)= q (q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{ an+k }是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。

例11：已知数 的递推关系为 ，且 求通项 。解：∵ ∴ 令 则辅助数列 是公比为2的等比数列∴ 即 ∴ 例12： 已知数列{ }中 且 （ ），，求数列的通项公式。

解：∵ ∴ ， 设 ，则 故{ }是以 为首项，1为公差的等差数列 ∴ ∴ 例13.(07全国卷Ⅱ理21)设数列 的首项 .（1）求 的通项公式；解：（1）由 整理得 . 又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，得注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q (p、q为常数且，p≠0,p≠1)可等价地改写成 则{ }成等比数列，实际上，这里的 是特征方程x=px+q的根。（2） f(n)为等比数列，如f(n)= qn (q为常数) ，两边同除以qn，得 ，令bn= ，可转化为bn+1=pbn+q的形式。

例14.已知数列{an}中，a1= , an+1= an+( )n+1，求an的通项公式。解：an+1= an+( )n+1 乘以2n+1 得 2n+1an+1= (2nan)+1 令bn=2nan 则 bn+1= bn+1 易得 bn= 即 2nan= ∴ an= (3) f(n)为等差数列例15.已知已知数列{an}中，a1=1,an+1+an=3+2 n，求an的通项公式。

解：∵ an+1+an=3+2 n,an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2 因此得，a2n+1=1+2(n-1), a2n=4+2(n-1)， ∴ an= 。注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。

（4） f(n)为非等差数列，非等比数列例16.(07天津卷理)在数列 中， ，其中 .（Ⅰ）求数列 的通项公式；解：由 ， ，可得 ，所以 为等差数列，其公差为1，首项为0，故 ，所以数列 的通项公式为 .这种方法类似于换元法， 主要用于已知递推关系式求通项公式。九、归纳、猜想如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。

例17.(2002年北京春季高考)已知点的序列 ，其中 ， ， 是线段 的中点， 是线段 的中点，…， 是线段 的中点，…（1） 写出 与 之间的关系式（ ）。（2） 设 ，计算 ，由此推测 的通项公式，并。

9.帮忙总结一下高中数列的基础知识

高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类； ③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整 体思想求解. （4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念： 1、数列的定义及表示方法： 2、数列的项与项数： 3、有穷数列与无穷数列： 4、递增（减）、摆动、循环数列： 5、数列的通项公式an: 6、数列的前n项和公式Sn: 7、等差数列、公差d、等差数列的结构： 8、等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式： 9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d （其中a1为首项、ak为已知的第k项） 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。

11、等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）,Sn=na1是关于n的正比例式。 12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1 an= ak qn-k （其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0） 13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 （是关于n的正比例式）； 当q≠1时，Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

15、等差数列中，若m+n=p+q，则 16、等比数列中，若m+n=p+q，则 17、等比数列的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 18、两个等差数列与的和差的数列、仍为等差数列。

19、两个等比数列与的积、商、倒数组成的数列 、、仍为等比数列。 20、等差数列的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq； 四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 （为什么？） 24、为等差数列，则 （c>0）是等比数列。

25、（bn>0）是等比数列，则 （c>0且c 1） 是等差数列。 26. 在等差数列 中： （1）若项数为 ，则 （2）若数为 则， ， 27. 在等比数列 中： （1） 若项数为 ，则 （2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。

关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和：如an=2n+3n 29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n 30、裂项法求和：如an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列的最大、最小项的方法： ① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3 ② （an>0） 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的。