实变函数(学好实变函数前需要掌握哪些)
1.学好实变函数前需要掌握哪些基础知识
当然就是之前的专业课。
最重要的就是数学分析，尤其是黎曼积分以及分析学的思路。
实变函数就是黎曼积分的拓展，介绍一种新的积分——勒贝格积分，将可积函数类的范围扩大了。
值得注意的是勒贝格积分当中，牛顿莱布尼兹公式不一定成立（仅有一个小于等于号），除非是绝对连续或者有界变差等某些情形。
在引入勒贝格积分的过程中，测度论是不可少的，有很多引进测度的方法。要掌握这些基本上逻辑没有问题就行了，并不需要什么准备知识，通常的实变书都应该有一些集合论的知识。
高等代数、解析几何、微分方程、复变都完全用不到的，基本就是数学分析。
2.实变函数的基础理论是什么
《实变函数》是大学数学系本科阶段理论性较强的一门基础课程。
该课程的主要研究对象是定义在实数集上的实函数，集合论方法与极限方法是其主要的研究方法，因而该课程又称“实分析”。该课程的核心内容是Lebesgue测度与Lebesgue积分，Lebesgue测度与Lebesgue积分理论的产生来自于对Riemann积分的改良。
笔者通过多年实变函数课程的教学与教改实践，积累了点滴经验，形成了自己一些肤浅见解。本书就是笔者根据自己学习与教学的体会，对实变函数课程的核心内容进行整理而形成的。
本书以块状格式呈现材料的写作方式与以往的实及实变函数学习指导书的写作方式有较大的不同。笔者认为，这种写作方式，一方面有利于突现实变函数课程的学科结构，另一方面可留给该书读者更大的思考与创意空间。
考虑到初学实变函数者做实变函数习题普遍感到难以入门，本书后面附有一部分实变函数常见习题的解答参考或提示。 目录第1章 集合与点集 1.1 集合及其运算 1.1.1 问题提出 1.1.2 概念入门 1.1.3 主要事实 1.1.4 例题选讲 1.1.5 基础题训练 1.1.6 提高性习题 1.2 映射与基数 1.2.1 问题提出 1.2.2 概念入门 1.2.3 主要事实 1.2.4 例题选讲 1.2.5 基础题训练 1.2.6 提高性习题 1.3 可数集与连续基数集 1.3.1 问题提出 1.3.2 概念入门 1.3.3 主要事实 1.3.4 例题选讲 1.3.5 基础题训练 1.3.6 提高性习题 1.4 直线上的点集 1.4.1 问题提出 1.4.2 概念入门 1.4.3 主要事实 1.4.4 例题选讲 1.4.5 基础题训练 1.4.6 提高性习题 1.5 关于集合论的几点注记 1.5.1 集合论创始人Canator简介 1.5.2 实无穷观与潜无穷观 1.5.3 连续统假设 1.5.4 第三次数学危机与Z-F集合论公理系统 1.5.5 集合思想对中学数学的指导 1.5.6 一一映射思想对中学数学的指导第2章 测度论 2.1 外测度 2.2 可测集与测度 2.3 可测集类与可测集的结构 2.4 关于测度论的几点注记第3章 可测函数 3.1 可测函数概念及性质 3.2 可测函数列的各种收敛性 3.3 关于可测函数的几点注记第4章 Lebesgue积分 4.1 非负简单函数与非负可测函数的（L）积分 4.2 一般可测函数的（L）积分 4.3 (L)积分与（R）积分 4.4 Fubini定理 4.5 关于（L）积分的几点注记第5章 微分理论初步 5.1 单调函数与有界变差函数的微分性质 5.2 不定积分与绝对连续函数 5.3 关于微分理论的两点注记附录 基础题训练、提高性习题部分参考解答或提示参考文献。
3.实变函数
实变函数论的产生 微积分产生于十七世纪，到了十八世纪末十九世纪初，微积分学已经基本上成熟了。
数学家广泛地研究并建立起它的许多分支，是它很快就形成了数学中的一大部门，也就是数学分析。 也正是在那个时候，数学家逐渐发现分析基础本身还存在着学多问题。
比如，什么是函数这个看上去简单而且十分重要的问题，数学界并没有形成一致的见解。以至长期争论者问题的这样和那样的解答，这样和那样的数学结果，弄不清究竟谁是正确的。
又如，对于什么是连续性和连续函数的性质是什么，数学界也没有足够清晰的理解。 十九世纪初，曾经有人试图证明任何连续函数除个别点外总是可微的。
后来，德国数学家维尔斯特拉斯提出了一个由级数定义的函数，这个函数是连续函数，但是维尔斯特拉斯证明了这个函数在任何点上都没有导数。这个证明使许多数学家大为吃惊。
由于发现了某些函数的奇特性质，数学家对函数的研究更加深入了。人们又陆续发现了有些函数是连续的但处处不可微，有的函数的有限导数并不黎曼可积；还发现了连续但是不分段单调的函数等等。
这些都促使数学家考虑，我们要处理的函数，仅仅依靠直观观察和猜测是不行的，必须深入研究各种函数的性质。比如，连续函数必定可积，但是具有什么性质的不连续函数也可积呢？如果改变积分的定义，可积分条件又是什么样的？连续函数不一定可导，那么可导的充分必要条件由是什么样的？…… 上面这些函数性质问题的研究，逐渐产生了新的理论，并形成了一门新的学科，这就是实变函数。
实变函数的内容 以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。
什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。
比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。
实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。
实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。 由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。
什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。测度的概念对于实变函数论十分重要。
集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。 为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。
1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。
勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。 勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。
从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。
自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。 这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。
什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。
逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。 和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。
和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。
实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛函分析两个重要分支有着极为重要的影响。 。
4.什么是实变函数
以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。
它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。什么是点集论呢？点集论是专门研究点所成的集合的性质的理论。
也可以说实变函数论是在点集论的基础上研究分析数学中的一些最基本的概念和性质的。 比如，点集函数、序列、极限、连续性、可微性、积分等。
实变函数论还要研究实变函数的分类问题、结构问题。 实变函数论的内容包括实值函数的连续性质、微分理论、积分理论和测度论等。
这里我们只对它的一些重要的基本概念作简要的介绍。 实变函数论的积分理论研究各种积分的推广方法和它们的运算规则。
由于积分归根到底是数的运算，所以在进行积分的时候，必须给各种点集以一个数量的概念，这个概念叫做测度。 什么实测度呢？简单地说，一条线段的长度就是它的测度。
测度的概念对于实变函数论十分重要。集合的测度这个概念实由法国数学家勒贝格提出来的。
为了推广积分概念，1893年，约当在他所写的《分析教程》中，提出了“约当容度”的概念并用来讨论积分。1898年，法国数学家波莱尔把容度的概念作了改进，并把它叫做测度。
波莱尔的学生勒贝格后来发表《积分、长度、面积》的论文，提出了“勒贝格测度”、“勒贝格积分”的概念。 勒贝格还在他的论文《积分和圆函数的研究》中，证明了有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点构成一个零测度集，这就完全解决了黎曼可积性的问题。
勒贝格积分可以推广到无界函数的情形，这个时候所得积分是绝对收敛的，后来由推广到积分可以不是绝对收敛的。 从这些就可以看出，勒贝格积分比起由柯西给出后来又由黎曼发扬的老积分定义广大多了。
也可以看出，实变函数论所研究的是更为广泛的函数类。 自从维尔斯特拉斯证明连续函数必定可以表示成一致收敛的多项式级数，人们就认清连续函数必定可以解析地表达出来，连续函数也必定可以用多项式来逼近。
这样，在实变函数论的领域里又出现了逼近论的理论。 什么是逼近理论呢？举例来说，如果能把 A类函数表示成 B类函数的极限，就说 A类函数能以 B类函数来逼近。
如果已经掌握了 B类函数的某些性质，那么往往可以由此推出 A类函数的相应性质。 逼近论就是研究那一类函数可以用另一类函数来逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出现的各种情况。
和逼近理论密切相关的有正交级数理论，三角级数就是一种正交级数。和逼近理论相关的还有一种理论，就是从某一类已知函数出发构造出新的函数类型的理论，这种理论叫做函数构造论。
总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征。 实变函数论不仅应用广泛，是某些数学分支的基本工具，而且它的观念和方法以及它在各个数学分支的应用，对形成近代数学的一般拓扑学和泛涵分析两个重要分支有着极为重要的影响。
例子 实变：y=x+1,x属于R 。
