一元二次方程必会(一元二次方程的知识要点)

1.一元二次方程的知识要点

定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数的是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高项的次数和是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程. （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0）

基本知识讲解：

1. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

即一个一元二次方程必须满足以下三个条件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

2. 一元二次方程的一般形式是：ax2 +bx+c=0(a≠0)，任何一个一元二次方程都可以化为一般形式，其中ax2称为二次项，a称为二次项系数，bx称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。

2.一元二次方程的知识要点

定义：在一个等式中，只含有一个未知数，且未知数的最高次数的是2次的整式方程叫做一元二次方程。

一元二次方程有四个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高项的次数和是2;(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程. （4）将方程化为一般形式：ax^2+bx+c=0时，应满足（a≠0）

基本知识讲解：

1. 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

即一个一元二次方程必须满足以下三个条件：（1）方程是整式方程；（2）它只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

2. 一元二次方程的一般形式是：ax2 +bx+c=0(a≠0)，任何一个一元二次方程都可以化为一般形式，其中ax2称为二次项，a称为二次项系数，bx称为一次项，b称为一次项系数，c称为常数项。

3.一元二次方程重难点知识详解

重难点知识解读

知识点1 一元二次方程的意义

只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.

对于这个定义，我们可从以下几方面去理解：

(1)它必须是一个整式方程.

(2)只含一个未知数.

(3)经过去括号、移项、合并同类项后，含未知数项的最高次数是2.

一个方程只有同时满足以上三个条件时，才是一元二次方程.例如，x2=1,

-x2=x+1,(x+1)(x-3)=2,x(x2-1)=x(x+1)(x-2)等都是一元二次方程；

知识点2 一元二次方程的一般形式及二次项系数、一次项系数和常数项

任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为：ax2+bx+c=0(d≠0)的形式，这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax2叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b做一次项系数；c叫做常数项.

在一元二次方程一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)中，一次项系数b，常数项c可以是任意实数，但二次项系数a是不等于零的实数，因为a=o时，方程就不是一元二次方程了.例如，方程x2=0,x2+x=0都是一元二次方程的一般形式.

注意点：（1）形如ax2+bx+c=0的方程不一定是一元二次方程.当a≠0时，是一元二次方程；当a=0且b≠0时，是一元一次方程.

(2)写二次项系数、一次项系数、常数项时，不要漏掉前面的符号.

知识点3 一元二次方程的解

详细内容你可以看： /Communication/XDetail.aspx?id=1998

4.初三数学,一元二次方程知识点

一元二次方程知识点

教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用

教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。

教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。 主要知识点：

一、一元二次方程

1、一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

二、一元二次方程的解法

1、直接开平方法：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如（xa）2b的一元二次方程。根据平方根的定义可知，xa是b的平方根，当b0时，xab,xab，当b<0时，方程没有实数根。

2、配方法：

配方法的理论根据是完全平方公式a22abb2（ab）2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x22bxb2（xb）2。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

3、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程ax2bxc0(a0)的求根公式：

xbb4ac

2a2(b4ac0) 2

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c

4、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

5、韦达定理 利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=-b/a，二根之积=c/a也可以表示为x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

三、一元二次方程根的判别式

根的判别式

一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程22axbxc0(a0)的根的判别式，通常用“”来表示，即b4ac I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；

III当△<0时，一元二次方程没有实数根

四、一元二次方程根与系数的关系

如果方程ax2bxc0(a0)的两个实数根是x1,x2，那么x1x2

x1x2caba，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方

程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。

五、一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别式的值，以便判断方程是否有解。

配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。

5.一元二次方程知识点详细讲解

结合抛物线图形及解析式来理解。几种形式之间的转换关系。根与系数之间的关系。

1.一般式：y=ax^2+bx+c. a>0则开口向上，a<0则开口向下

判别式delta=b^2-4ac=a^2(x1-x2)^2

大于0则2相异实根（曲线与X轴相交），等于0则2等实根（曲线与X轴相切），小于0则无实根（曲线与X轴无交点）。

2.顶点式：y=a(x-h)^2+d. h=-b/(2a), d=c-ah^2=(4ac-b^2)/(4a)， 由一般式直接配方而来。

顶点为（h, d）,a>0时为最小值，a<0时为最大值

x=h为曲线的对称轴。若有两根分别在对称轴的两边

ad<0则有2相异实根，d=0则2等实根，ad>0则无实根。

3.因式分解式：y=a(x-x1)(x-x2)

x1+x2=-b/a, x1x2=c/a,

两根同号则c/a>0， 两根异号则c/a<0

两正根则-b/a>0， 两负根则-b/a<0

6.想学好一元一次方和一元二次方程的话什么知识都要懂呢

为一元二次方程的解法。在深刻认识一元二次方程概念基础上，掌握四种基本解题方法。这部分例、习题安排类型较多，可从中选一些书后习题进行练习，并分析和比较出适用于各种不同解法的方程的特点，进而归纳出解一元二次方程的一般处理方法：先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑使用求根公式法。提醒同学们注意的是：使用求根公式除了可以解一元二次方程外，还可将任何一个能在实数范围内分解的二次三项式分解因式。

化为一元二次方程的各类方程（组）注意三点：①解方程（组）的基本思想是：多元方程要"消元"，次数高的方程要"降次"，分式方程"去分母"化为整式方程，无理方程"去根号"化为有理方程。②验根。由于"去分母"、"去根号"都会使未知数取值范围扩大，产生增根在所难免，所以在解分式方程及无理方程时一定要验根。增根必须舍去。③灵活的解题方法。如换元法、采用根与系数关系求解等。

根的判别式、根与系数的关系这部分内容关键是掌握知识的来源、特点：熟练准确的应用则是难点。注意问题：①根据根与系数关系，求常见代数式的值要会变值。②充分讨论隐含条件：如a≠0、Δ≥0等。

方程的应用既是重点也是难点。特别是与生活贴近的实际问题，更是各省市中考命题热点之一。解决的关键是分析出相应的数量关系

同学们在预习过程中，难免会遇到一些知识理解上的困难，不妨做个标记，留待开学后再解决，对课本内容的深层挖掘可暂不涉及。

总之，预习要做到：读懂教材阐述的问题；把握问题的来龙去脉；寻求解决问题的依据；探讨解决问题的办法；得到问题的答案。相信你一定会尝到预习的甜头。

7.初中数学一元二次方程知识点

知识点1：一元二次方程的基本概念 1.一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2. 2.一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2. 3.一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7. 4.把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.二、解方程的依据—等式性质 1.a=b←→a+c=b+c 2.a=b←→ac=bc (c≠0) 三、解法 1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→ 系数化成1→解。

2. 元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法 ②加减法 四、一元二次方程 1.定义及一般形式： 2.解法：⑴直接开平方法（注意特征） ⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式） ⑶公式法： ⑷因式分解法（特征：左边=0） 3.根的判别式： 4.根与系数顶的关系： 逆定理：若 ，则以 为根的一元二次方程是： 。 5.常用等式： 五、可化为一元二次方程的方程 1.分式方程 ⑴定义 ⑵基本思想： ⑶基本解法：①去分母法②换元法（如， ） ⑷验根及方法 2.无理方程 ⑴定义 ⑵基本思想： ⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例， ）⑷验根及方法 3.简单的二元二次方程组 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

六、列方程（组）解应用题 一概述 列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体步骤是： ⑴审题。

理解题意。弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。 ⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。 ⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。 二常用的相等关系 1. 行程问题（匀速运动） 基本关系：s=vt ⑴相遇问题（同时出发）： + = ； ⑵追及问题（同时出发）： 若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则 ⑶水中航行： ； 2. 配料问题：溶质=溶液*浓度 溶液=溶质+溶剂 3.增长率问题： 4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率*工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5.几何问题：常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。 三注意语言与解析式的互化 如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、…… 又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：100a+10b+c，而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。 如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如，x与y的差为3，则x-y=3。五注意单位换算 如，“小时”“分钟”的换算；s、v、t单位的一致等。

七、应用举例（略） 第六章 一元一次不等式（组） ★重点★一元一次不等式的性质、解法 ☆ 内容提要☆ 1. 定义：a>b、a2. 一元一次不等式：ax>b、ax3. 一元一次不等式组： 4. 不等式的性质：⑴a>b←→a+c>b+c ⑵a>b←→ac>bc(c>0) ⑶a>b←→ac<bc(cb,b>c→a>c ⑸a>b,c>d→a+c>b+d. 5.一元一次不等式的解、解一元一次不等式 6.一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集） 7.应用举例（略）。